Question

15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=acosc+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$csinA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当a=3时，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，可得$cosAsinC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，
又sinC≠0，可求$tanA=\sqrt{3}$，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．
（Ⅱ）由余弦定理得9=b²+c²-bc，利用基本不等式可求bc≤9，又由9=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，得b+c≤6，又b+c＞3，可得范围6＜a+b+c≤9．

解答 解：（Ⅰ）由$b=acosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}csinA$及正弦定理得，$sinB=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，…（1分）
∵B=π-（A+C），
∴$sinB=sin（{A+C}）=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，…（2分）
∴$sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，…（3分）
∴$cosAsinC=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinCsinA$，
∵C∈（0，π），
∴sinC≠0，…（4分）
∴$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinA$
易知cosA≠0，
∴$tanA=\sqrt{3}$，…（5分）
∵A∈（0，π）
∴$A=\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得9=b²+c²-bc，…（7分）
∵b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时，“=”成立，…（8分）
∴9=b²+c²-bc≥bc，即bc≤9，当且仅当b=c=3时，“=”成立，…（9分）
又由9=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，得（b+c）²=9+3bc≤36，
∴b+c≤6，…（10分）
∵b+c＞3，
∴6＜a+b+c≤9，…（11分）
∴求△ABC周长的取值范围（6，9]．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式等知识在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．