Question

6．证明1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞$\frac{n+1}{2}$（n∈N^*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（　　）

• A． 2^k+1项
• B． 2^k项
• C． k+1项
• D． k项

Answer 1

分析 首先分析题目证明不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＞$\frac{n+1}{2}$（n∈N^*），假设n=k时成立，求当n=k+1时，左端增加的项数．故可以分别把n=k+1，n=k代入不等式左边，使它们相减即可求出项数．

解答 解：当n=k时不等式为：1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$＞$\frac{k+1}{2}$（k∈N^*）成立
当n=k+1时不等式左边为1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}-1}$+$\frac{1}{{2}^{k+1}}+\frac{1}{{2}^{k+1}+1}+…+\frac{1}{{2}^{k+2}-1}$＞$\frac{k+2}{2}$，
则左边增加2^k+2-1-2^k+1+1=2^k+1项．
故选：A．

点评 本题主要考查用数学归纳法证明不等式的问题，属于概念性问题，计算量小，属于基础题目．