Question

1．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB₁=2，B₁C=2，∠ABB₁=60°．
（1）证明：AB₁⊥平面ABC．
（2）求AC₁与平面BCB₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结AB₁，在△ABB₁中，利用余弦定理，求出AB₁=$\sqrt{3}$，利用勾股定理证明AB₁⊥AB，AB₁⊥AC，即可证明AB⊥平面ABC．
（2）以A为原点，以$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面BCB₁的法向量，平面BCB₁的一个法向量，利用向量的数量积求解AC₁与平面BCB₁所成角的正弦值即可．

解答 解：（1）连结AB₁，在△ABB₁中，
AB=1．BB₁=2，∠ABB₁=60°，
由余弦定理得，
AB₁²=AB²+BB₁²-2AB•BB₁cos∠ABB₁=3，

∴AB₁=$\sqrt{3}$，…（2分）
∴BB₁²=AB²+AB₁²，
∴AB₁⊥AB．              …（3分）
∵AB₁=$\sqrt{3}$，AB=AC=1，B₁C=2，
∴B₁C²=AB₁²+AC²，∴AB₁⊥AC．（5分）
所以AB⊥平面ABC（6分）
（2）如图，以A为原点，以$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），B（1，0，0），C（0，1，0），

∴$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1，0）．
设平面BCB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}z=0}\\{-x+y=0}\end{array}\right.$，令z=1，得x=y=$\sqrt{3}$．
∴平面BCB₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1）．…（9分）
∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{AC}$$+\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-1，1，$\sqrt{3}$）…（10分）
∴cos$＜\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}×\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$        …．…（11分）
∴AC₁与平面BCB₁所成角的正弦值为：$\frac{\sqrt{105}}{35}$．（12分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面市场价的求法，考查空间想象能力以及计算能力．