Question

9．设A、B、C是圆O：x²+y²=1上不同的三个点，|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OC}$|，若存在实数λ、μ满足$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，则点P（λ，μ）与圆O的位置关系是（　　）

• A． 点P在圆内
• B． 点P在圆上
• C． 点P在圆外
• D． 不确定

Answer 1

分析 由A，B，C是圆x²+y²=1上不同的三个点，可得|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，所以对$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，两边平方即可得到结论．

解答 解：∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|=|$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OC}$|，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∵$\overrightarrow{OC}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
两边平方得：
|$\overrightarrow{OC}$|²=λ²|$\overrightarrow{OA}$|²+μ²|$\overrightarrow{OB}$|²+2λμ$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$，
∵A，B，C是圆O：x²+y²=1上不同的三个点，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=|$\overrightarrow{OC}$|=1，
即有λ²+μ²=1，
则点（λ，μ）与圆O的位置关系是在圆上．
故选：B．

点评 本题主要考查圆的定义及向量的模及其数量积运算，还考查了向量与实数的转化．在向量的加，减，数乘和数量积运算中，数量积的结果是实数，所以考查应用较多．