Question

已知函数。

(1)若的单调减区间是,求实数a的值;

(2)若函数在区间上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围；

(3)?、?是函数的两个极值点，?<?，。求证：对任意的，不等式成立．

 

Answer 1

(1) (2) (3)略

【解析】

试题分析：(1) 由题得，以及的单调减区间,解得 ;

(2)函数在区间上都为单调函数且它们的单调性相同,转化为不等式恒成立的问题．

(3)由

又∵有两个不相等的正跟?,?且?<?, ,得 , 即在上单调递减,

设, 求得 再利用单调性即可．

(1) 由题得,

要使的单调减区间是则,解得 ; (2分)

另一方面当时,

由解得,即的单调减区间是．

综上所述． (4分)

(2), 函数在区间上都为单调函数且它们的单调性相同,

∴, ∴ (6分)

∵,又

∴ (8分)

(3)∵

又∵有两个不相等的正跟?,?且?<?, ,∴

∴当时, , 即在上单调递减,∴ (10分)

则对任意的,

设, 则

当时, ∴在上单增, ∴, ∴也在上单增, (12分)

∴

∴不等式对任意的成立． (14分)

考点：利用导数求单调区间以及参数的取值范围；不等式恒成立的问题；利用导数求极值．