Question

已知3sin²α+2sin²β-2sinα=0，则cos²α+cos²β的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由已知中3sin²α+2sin²β-2sinα=0，根据一个数平方的非负性，我们可以判断出sinα的取值范围，进而利用同角三角形函数关系，将cos²α+cos²β表示成一个关于sinα的表达式，结合二次函数的性质和sinα的取值范围，即可得到cos²α+cos²β的取值范围．

解答：解：∵3sin²α+2sin²β-2sinα=0，
∴2sin²β=2sinα-3sin²α=sinα（2-3sinα）≥0
∴0≤sinα≤

2

3

∴cos²α+cos²β=cos²α+（1-sin²β）=cos²α+[1-

1

2

（2sinα-3sin²α）]=

1

2

sin²α-sinα+2=

1

2

（sinα-1）²+

7

4

当sinα=0时，cos²α+cos²β取最大值2；
当sinα=

2

3

，cos²α+cos²β取最小值

14

9

故cos²α+cos²β的取值范围为[

14

9

，2]
故答案为：[

14

9

，2]

点评：本题考查的知识点是同角三角函数间的基本关系，二次函数的性质，其中根据已知条件判断出sinα的取值范围，是解答本题的关键．