Question

12．若分别为P（1，0）、Q（2，0），R（4，0）、S（8，0）四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（　　）

• A． $\frac{16}{17}$
• B． $\frac{36}{5}$
• C． $\frac{64}{37}$
• D． $\frac{196}{53}$

Answer 1

分析 根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形面积．

解答 解：如果过点P（1，0），Q（2，0），R（4，0），S（8，0）作四条直线构成一个正方形，
过P点的必须和过Q，R，S的其中一条直线平行和另外两条垂直，
假设过P点和Q点的直线相互平行时，如图，
设直线PC与x轴正方向的夹角为θ，再过Q作它的平行线QD，过R、S作它们的垂线RB、SC，过点A作x轴的平行线分别角PC、SC于点M、N，
则AB=AMsinθ=PQsinθ=sinθ，AD=ANcosθ=RScosθ=4cosθ，
因为AB=AD，所以sinθ=4cosθ，则tanθ=4，
所以正方形ABCD的面积S=AB•AD=4sinθcosθ=$\frac{4sinθcosθ}{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}$=$\frac{4tanθ}{tan2θ+1}$=$\frac{16}{17}$，
同理可求，当直线PC和过R的直线平行时正方形ABCD的面积S为 $\frac{36}{5}$，
当直线PC和过S点的直线平行时正方形ABCD的面积S为 $\frac{193}{53}$，
故选：C．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，以及数形结合思想，属于中档题．