题目内容
9．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$，（t为参数），曲线C的普通方程为（x-2）2+（y-1）2=5，点P的极坐标为（2$\sqrt{2}$，$\frac{7π}{4}$）．（1）求直线l的普通方程和曲线C的极坐标方程；
（2）若将直线l向右平移2个单位得到直线l′，设l′与C相交于A，B两点，求△PAB的面积．
分析 （1）根据直线l的参数方程，消参可得直线l的普通方程，根据曲线C的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入化简，可得曲线C的极坐标方程；
（2）由题意得l′的普通方程为y=x，所以其极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$，联立C的极坐标方程，可得弦长，求出弦心距，可得三角形面积．
解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$，
将t=x+1代入y=1+t得：
直线l的普通方程为y=x+2，
∵曲线C的普通方程为（x-2）2+（y-1）2=5，
∴曲线C的极坐标方程为（ρcosθ-2）2+（ρsinθ-1）2=5，
即ρ=4cosθ+2sinθ…（5分）
（2）将直线l向右平移2个单位得到直线l′，
则l′的普通方程为y=x，
所以其极坐标方程为θ=$\frac{π}{4}$，
代入ρ=4cosθ+2sinθ得：ρ=3$\sqrt{2}$，
故|AB|=3$\sqrt{2}$，
因为OP⊥l′，所以点P到直线l′的距离为2$\sqrt{2}$，
所以△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=6…（10分）
点评 本题考查的知识点是简单曲线的极坐标方程，参数方程与普通方程的互化，三角形面积公式，难度中档．
练习册系列答案
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如图所示，A，B，D在地平面同一直线上，AB=20，从A，B两地测得C点的仰角分别为45°和60°，则C点离地面的高CD等于（ ）| A． | $10（\sqrt{3}-1）$ | B． | $10（\sqrt{3}+1）$ | C． | $10（3-\sqrt{3}）$ | D． | $10（3+\sqrt{3}）$ |
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