Question

8．设函数f（x）=|sinx|+|cosx|，x∈R，则下列结论正确的是①②（写出所有正确结论的编号）．
①f（x）为偶函数    
②f（x）的最大值为$\sqrt{2}$    
③f（x）的最小值为0
④f（$\frac{9π}{10}$）＞f（$\frac{π}{9}$）    
⑤f（x）的最小正周期为π

Answer 1

分析 由f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）|+|cos（x+$\frac{π}{2}$）|=|cosx|+|sinx|，得f（x）的最小正周期$\frac{π}{2}$，分析函数y=|sinx|+|cosx|在[0，$\frac{1}{2}$]的图象、性质即可

解答 解：∵由f（x+$\frac{π}{2}$）=|sin（x+$\frac{π}{2}$）|+|cos（x+$\frac{π}{2}$）|=|cosx|+|sinx|=f（x），得f（x）的周期为$\frac{π}{2}$．
故只需考查函数y=|sinx|+|cosx|x∈[0，$\frac{π}{2}$]
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$
∵$x+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，∴$f（x）∈[1，\sqrt{2}]$
且函数f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上单调递增．
∵f（x）=f（-x），f（x）的周期为$\frac{π}{2}$．
∴f（$\frac{9π}{10}$）=f（$\frac{π}{10}$）$＜f（\frac{π}{9}）$．
故答案为：①②

点评 本题考查两角和与差的正弦函数，正弦函数的性质，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．