Question

8．（1）求函数f（x）=x³-3x²-9x，x∈[-4，4]的最值
（2）求函数$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+4x-5lnx$的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可；
（2）求出g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）f（x）=x³-3x²-9x，
f′（x）=3x²-6x-9=3（x²-2x-3）=3（x-3）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜3，
∴f（x）在[-4，-1）递增，在（-1，3）递减，在（3，4]递增，
而f（-4）=-76，f（-1）=5，f（3）=-27，f（4）=-30，
∴f（x）_min=f（-4）=-76，f（x）_max=f（-1）=5，
（2）$g（x）=\frac{1}{2}{x^2}+4x-5lnx$，定义域是（0，+∞），
g′（x）=x+4-$\frac{5}{x}$=$\frac{（x+5）（x-1）}{x}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴$x=1时f（x）有极小值f（1）=\frac{9}{2}，f（x）无极大值$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，是一道基础题．