Question

2．在△ABC中，角A、B、C所对边的长为a、b、c，设AD为BC边上的高，且AD=a，则$\frac{b}{c}$+$\frac{c}{b}$的最大值是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用三角形的两个面积公式和等面积法列出方程表示出sinA，由余弦定理表示出cosA，化简后求出$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$的表达式，利用辅助角公式化简，利用正弦函数的最大值求出$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$的最大值．

解答 解：∵AD为BC边上的高，且AD=a，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}a•a=\frac{1}{2}bcsinA$，则sinA=$\frac{{a}^{2}}{bc}$，
由余弦定理得，cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$）-$\frac{{a}^{2}}{2bc}$，
∴$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$=2（$\frac{{a}^{2}}{2bc}$+cosA）=sinA+2cosA=$\sqrt{5}$sin（A+α），
其中sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
当sin（A+α）=1时，$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$取到最大值是$\sqrt{5}$，
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角形的面积公式，余弦定理，两角和的正弦函数公式，考查了正弦函数的性质，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．