Question

3．如图，在多面体ABCDEF中，四边形CDEF是正方形，AB∥CD，CD=2AB，G为DE的中点．
（1）求证：BG∥平面ADF；
（2）若CD=2，AB⊥BD，BD=BE，∠DBE=90°，求三棱锥A-BDF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接底面四边形对角线相交于H，连接HG，AH，由三角形中位线知识证明四边形AHGB是平行四边形，得到BG∥AH，再由线面平行的判定定理证明BG∥平面ADF；
（2）由已知证得BD⊥平面AFEB，在正方形CDEF中，得到AB⊥DE，由线面垂直的判定得AB⊥平面BDE，得到AB⊥BE，在Rt△BDE中，求解直角三角形可得$BD=BE=\sqrt{2}$，
AB=1，利用等积法把三棱锥A-BDF的体积转化为三棱锥D-ABF的体积求解．

解答 （1）证明：设CE与DF的交点为H，则点H为CE的中点，连接HG，AH，
在△CDE中，∵G为DE的中点，H为CE的中点，
∴HG∥CD，且CD=2HG，
又∵AB∥CD，CD=2AB，
∴AB∥HG，且AB=HG，
∴四边形AHGB是平行四边形，
∴BG∥AH，
∵AH?平面ADF，BG?平面ADF，
∴BG∥平面ADF；
（2）解：∵AB⊥BD，BD⊥BE，AB、BE?平面AFEB，AB∩BE=B，
∴BD⊥平面AFEB，
在正方形CDEF中，CD⊥DE，AB∥CD，
∴AB⊥DE，
又∵AB⊥BD，BD、BE?平面BDE，BD∩BE=B，
∴AB⊥平面BDE，
∴AB⊥BE，
在Rt△BDE中，∠DBE=90°，BD=BE，DE=CD=2，
∴$BD=BE=\sqrt{2}$，
∵CD=2AB，CD=2，
∴AB=1，
∴三棱锥A-BDF的体积V_A-BDF=V_D-ABF=$\frac{1}{3}{S_{△ABF}}•DB$
=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AB•BE•DB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了棱锥、棱柱、棱台体积的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．