Question

如图5，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点．

（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；

（3）求直线和平面所成角的正弦值．

Answer 1

解法一：(1) 证：取的中点，

连结．

∵为的中点，∴

且．

∵平面，

平面，

∴，

∴． 

又，

∴．

∴四边形为平行四边形，

则． 

∵平面，平面，

∴平面．    ………… 4分

(2) 证：∵为等边三角形，为的中点，

∴ 

∵平面，平面，

∴．

   又，

故平面．

∵，

∴平面．

∵平面，

∴平面平面．        　　                     …………8分

(3) 解：在平面内，过作于，连．

∵平面平面，

∴平面．

∴为和平面所成的角．  …………10分

设，

则，

，

在R t△中，．…………13分

∴直线和平面所成角的正弦值为………14分

解法二：设，

建立如图所示的坐标系，

则

∵为的中点，∴．

 (1) 证：，      

∵，平面，

∴平面．                …………4分

 (2) 证：∵， 

∴，

∴．  

∴平面，又平面，

∴平面平面．          …………8分

 (3) 解：设平面的法向量为，

由可得：

，

取．                             …………10分

 又，

设和平面所成的角为，

则．  …………13分

∴直线和平面所成角的正弦值为．   ………14分