Question

8．已知直线x-y+3=0与圆心为（3，4）的圆C相交，截得的弦长为2$\sqrt{2}$．
（1）求圆C的方程；
（2）设Q点的坐标为（2，3），且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k（k＞0）．若动点M的轨迹是一条直线，试确定相应的k值，并求出该直线的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心C到直线l的距离，利用截得的弦长为2$\sqrt{2}$求得半径的值，可得圆C的方程；
（2）设动点M（x，y），则由题意可得$\frac{\sqrt{M{C}^{2}-4}}{|MQ|}$=k，即$\frac{\sqrt{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}-4}}{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}}$=k，化简可得 （k²-1）•x²+（k²-1）•y²+（6-4k²）x+（8-6k²）y+13k²-9=0，若动点M的轨迹方程是直线，则k²-1=0，即可得出结论．

解答 解：（1）圆心C到直线l的距离为$\frac{|3-4+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵截得的弦长为2$\sqrt{2}$，
∴半径为2，
∴圆C：（x-3）²+（y-4）²=4；
（2）设动点M（x，y），则由题意可得$\frac{\sqrt{M{C}^{2}-4}}{|MQ|}$=k，即$\frac{\sqrt{（x-3）^{2}+（y-4）^{2}-4}}{\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}}$=k，
化简可得 （k²-1）•x²+（k²-1）•y²+（6-4k²）x+（8-6k²）y+13k²-21=0，
若动点M的轨迹方程是直线，则k²-1=0，∴k=1，
直线的方程为x+y-4=0．

点评 本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题．