Question

19．已知△ABC的面积为S，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若4S+a²=b²+c²，则sinC-cos（B+$\frac{π}{4}$）取最大值时C=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面积公式及其余弦定理可得：2bcsinA=2bccosA，化简即可得出tanA=1，结合A的范围可求A的值，从而可得sinC-cos（B+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$），结合C+$\frac{π}{4}$的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：∵4S+a²=b²+c²，可得：4S=b²+c²-a²，
∴4×$\frac{1}{2}$bcsinA=2bccosA，
∴可得：tanA=1，
又∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{4}$．
∴sinC-cos（B+$\frac{π}{4}$）=sinC-cos（$\frac{3π}{4}$-C+$\frac{π}{4}$）=sinC+cosC=$\sqrt{2}$sin（C+$\frac{π}{4}$），
∵C∈（0，$\frac{3π}{4}$），可得：C+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，π），
∴当C+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即C=$\frac{π}{4}$时，sinC-cos（B+$\frac{π}{4}$）取最大值．
故答案为：$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．