Question

1．已知正项数列{a_n}的前n和为S_n，且$\sqrt{S_n}$是$\frac{1}{4}$与（a_n+1）²的等比中项．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若b₁=a₁且b_n=2b_n-1+3，求数列{b_n}的通项公式
（3）在（2）的条件下，若c_n=a_n（b_n+3），求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用$\sqrt{S_n}$是$\frac{1}{4}$与（a_n+1）²的等比中项，可得S_n=$\frac{1}{4}$•（a_n+1）²，n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{4}$•（a_n-1+1）²，两式相减，即可求得数列{a_n}是等差数列；
（2）确定数列{b_n+3}是公比为2的等比数列，即可求数列{b_n}的通项公式；
（3）求得{c_n}的通项公式，利用“错位相减法”，即可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）证明：∵$\sqrt{S_n}$是$\frac{1}{4}$与（a_n+1）²的等比中项，
∴S_n=$\frac{1}{4}$•（a_n+1）²，
∴n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{4}$•（a_n-1+1）²，
两式相减可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列各项为正，a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2
∵n=1时，S₁=$\frac{1}{4}$•（a₁+1）²，
∴a₁=1
∴数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列
∴a_n=2n-1；
（2）∵b_n=2b_n-1+3，
∴b_n+3=2（b_n-1+3），
∴数列{b_n+3}是公比为2的等比数列
∵b₁=a₁=1，
∴b₁+3=4，
∴b_n+3=2ⁿ⁺¹
∴b_n=2ⁿ⁺¹-3；
（3）在（2）的条件下，c_n=a_n（b_n+3）=（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=1×2²+3×2³+5×2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
2T_n=1×2³+3×2⁴+5×2⁵+…+（2n-1）•2ⁿ⁺²，
两式相减得：-T_n=1×2²+2×2³+2×2⁴+…+2×2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺²，
=2（$\frac{{2}^{2}-{2}^{n+2}}{1-2}$）-4-（2n-1）•2ⁿ⁺²，
=2×2ⁿ⁺²-12-（2n-1）•2ⁿ⁺²，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺²+12，
∴{c_n}的前n项和T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺²+12．

点评 本题考查等比数列性质，等比数列和等差数列通项公式，考查利用“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．