题目内容
国庆前夕，我国具有自主知识产权的“人甲型H1N1流感病毒核酸检测试剂盒”（简称试剂盒）在上海进行批量生产，这种“试剂盒”不仅成本低操作简单，而且可以准确诊断出“甲流感”病情，为甲型H1N1流感疫情的防控再添一道安全屏障．某医院在得到“试剂盒”的第一时间，特别选择了知道诊断结论的5位发热病人（其中“甲流感”患者只占少数），对病情做了一次验证性检测．已知如果任意抽检2人，恰有1位是“甲流感”患者的概率为
．
（I）求出这5位发热病人中“甲流感”患者的人数；
（II）若用“试剂盒”逐个检测这5位发热病人，直到能确定“甲流感”患者为止，设ξ表示检测次数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
| 2 | 5 |
（I）求出这5位发热病人中“甲流感”患者的人数；
（II）若用“试剂盒”逐个检测这5位发热病人，直到能确定“甲流感”患者为止，设ξ表示检测次数，求ξ的分布列及数学期望Eξ．
分析：（1）设有x人患“甲流感”，由题意得
=
，由此能求出这5位发热病人中“甲流感”患者的人数．
（2）由题设知ξ=1，2，3，4，P(ξ=1)=
=
，P(ξ=2)=
=
，P(ξ=3)=
=
，P(ξ=4)=
=
．由此能求出ξ的分布列和期望．
| ||||
|
| 2 |
| 5 |
（2）由题设知ξ=1，2，3，4，P(ξ=1)=
| 1 | ||
|
| 1 |
| 5 |
| ||
|
| 1 |
| 5 |
| ||
|
| 1 |
| 5 |
| ||||
|
| 2 |
| 5 |
解答：解：（1）设有x人患“甲流感”，
则由题意有
=
，…（3分）
解得 x=1或x=4（舍）．
∴这5位发热病人中有1人患“甲流感”．…（5分）
（2）由题设知ξ=1，2，3，4，
则P(ξ=1)=
=
，
P(ξ=2)=
=
，
P(ξ=3)=
=
，
P(ξ=4)=
=
．
∴ξ的分布列为
…（10分）
∴Eξ=1×
+2×
+3×
+4×
=2.8． …（12分）
则由题意有
| ||||
|
| 2 |
| 5 |
解得 x=1或x=4（舍）．
∴这5位发热病人中有1人患“甲流感”．…（5分）
（2）由题设知ξ=1，2，3，4，
则P(ξ=1)=
| 1 | ||
|
| 1 |
| 5 |
P(ξ=2)=
| ||
|
| 1 |
| 5 |
P(ξ=3)=
| ||
|
| 1 |
| 5 |
P(ξ=4)=
| ||||
|
| 2 |
| 5 |
∴ξ的分布列为
| ξ | 1 | 2 | 3 | 4 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
∴Eξ=1×
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 5 |
| 2 |
| 5 |
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件合理地进行等价转化．
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