Question

（10分）已知命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立；命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．

 

Answer 1

a≤﹣1．

【解析】

试题分析：本题考查的知识点是命题的真假判定，由命题p：x1和x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根，不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立，我们易求出P是真命题时，a的取值范围；由命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解，我们也易求出q为假命题时的a的取值范围，再由命题p是真命题，命题q是假命题，求出两个范围的公共部分，即得答案．

【解析】
∵x1，x2是方程x2﹣mx﹣2=0的两个实根

∴

∴|x1﹣x2|=

=

∴当m∈[﹣1，1]时，|x1﹣x2|max=3，

由不等式a2﹣5a﹣3≥|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1，1]恒成立．

可得：a2﹣5a﹣3≥3，∴a≥6或a≤﹣1，

∴命题p为真命题时a≥6或a≤﹣1，

命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解．

①当a＞0时，显然有解．

②当a=0时，2x﹣1＞0有解

③当a＜0时，∵ax2+2x﹣1＞0有解，

∴△=4+4a＞0，∴﹣1＜a＜0，

从而命题q：不等式ax2+2x﹣1＞0有解时a＞﹣1．

又命题q是假命题，

∴a≤﹣1，

故命题p是真命题且命题q是假命题时，

a的取值范围为a≤﹣1．