Question

4．设a为双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的实半轴长，则（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展开式中的常数项等于-160．

Answer 1

分析 求出a的值，利用二项展开式的通项公式进行求解即可．

解答 解：∵a为双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$的实半轴长，
∴a=2，
则（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶=[$\frac{（2x-1）}{\sqrt{x}}$]⁶=$\frac{（2x-1）^{6}}{{x}^{3}}$=$\frac{（1-2x）^{6}}{{x}^{3}}$，
（1-2x）⁶开式中的x³项为${C}_{6}^{3}（-2x）^{3}$=-160x³，
则（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶展开式中的常数项等于-160．
故答案为：-160．

点评 本题主要考查二项展开式的应用，根据双曲线的方程求出a的值是解决本题的关键．