Question

已知过坐标原点O的两条互相垂直的直线与抛物线y=ax²（a＞）分别相交于A、B两点．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（2）求△OAB面积的最小值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设直线OA的方程为y=kx（k≠0），与抛物线联立即可解出用k表示的A点的坐标，再由条互相垂直的弦OA、OB这一关系，两直线过同一点原点，斜率互为负倒数的关系得出B的坐标．M是AB的中点，故可由中点坐标公式得到点M的以k为参数的参数方程，消去参数k，即可得到所求的点M的轨迹方程．
（2）△OAB面积为

1

2

|OA||OB|=

1

2a2

(k2+k4)( 1 k2 + 1 k4 )

=

1

2a2

2+k2+ 1 k2

≥

1

a2

，即可得出结论．

解答： 解：（1）∵依题意可知直线OA的斜率存在且不为0
∴设直线OA的方程为y=kx（k≠0）
∴联立方程

y=kx y=ax2

，解得x_A=

k

a

，y_A=

k2

a

以-

1

k

代上式中的k，解方程组

y=- 1 k x y=ax2

，解得x_B=-

1

ka

，y_B=

1

k2a

设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得x=

1

2a

（k-

1

k

），y=

1

2a

（k²+

1

k2

）
消去参数k，得2a²x²=ay-1，即为M点轨迹的普通方程；
（2）△OAB面积为

1

2

|OA||OB|=

1

2a2

(k2+k4)( 1 k2 + 1 k4 )

=

1

2a2

2+k2+ 1 k2

≥

1

a2

，k=±1时取等号，
∴△OAB面积的最小值为

1

a2

．

点评：本题考查了抛物线的方程及其性质、轨迹方程、基本不等式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．