Question

19．在△ABC中，（2b+c）cosA+acosC=0．
（1）求角A；
（2）若b=4，S_△ABC=5$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 本题考查正弦定理，余弦定理以及任意三角形的面积公式．
（1）直接由正弦定理，运用三角形的内角和定理可得角A．
（2）利用任意三角形的面积公式，求出C，在利用余弦定理即可解出a的值．

解答 解：（1）由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$
∵（2b+c）cosA+acosC=0
?（2sinB+sinC）cosA+sinAcosC=0
?2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC=0
?2sinBcosA+sin（A+C）=0
又∵A+B+C=π⇒B=π-A-C
?2sinBcosA+sinB=0
?sinB（2cosA+1）=0
∵sinB＞0，
∴2cosA+1=0，
解得：cosA=-$\frac{1}{2}$
∴A=120°
（2）由任意三角形的面积公式$s=\frac{1}{2}bcsinA$
得：$5\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}×4×c×sin120°$
解得：c=5．
∵余弦定理：c²+b²-2bccosA=a²=61，
∴a=$\sqrt{61}$

点评 本题考查正弦定理，余弦定理以及任意三角形的面积公式的灵活变形的运用，计算能力．属于基础题．