Question

17．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=2^x+1．
（1）求f（x）与g（x）的解析式；
（2）若定义在实数集R上的以2为最小正周期的周期函数φ（x），当-1≤x≤1时，φ（x）=f（x），试求φ（x）在闭区间[2015，2016]上的表达式，并证明φ（x）在闭区间[2015，2016]上单调递减；
（3）设h（x）=x²+2mx+m²-m+1（其中m为常数），若h（g（x））≥m²-m-1对于x∈[1，2]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性可得f（-x）+g（-x）=2^-x+1，通过联立求解可得出函数的解析式；
（2）φ（x）是R上以2为正周期的周期函数，可得2016也为函数的周期，x-2016∈[-1，0]，可得$φ（x）=φ（x-2016）=f（x-2016）={2^{x-2016}}+\frac{1}{{{2^{x-2016}}}}$，利用定义法判断函数的单调性即可；
（3）利用换元法t=g（x）在x∈[1，2]单调递增，得出t的范围$\frac{3}{2}≤t≤\frac{15}{4}$，不等式可整理为$m≥-\frac{{{t^2}+2}}{2t}$对于$t∈[{\frac{3}{2}，\frac{15}{4}}]$恒成立，只需求出右式的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）+g（x）=2^x+1①，
因为f（x）是偶函数，g（x）是奇函数
所以有f（-x）+g（-x）=2^-x+1，即f（x）-g（x）=2^-x+1②
∵f（x），g（x）定义在实数集R上，
由①和②解得，$f（x）=\frac{{{2^{x+1}}+{2^{-x+1}}}}{2}={2^x}+\frac{1}{2^x}$，$g（x）=\frac{{{2^{x+1}}-{2^{-x+1}}}}{2}={2^x}-\frac{1}{2^x}$．
（2）φ（x）是R上以2为正周期的周期函数，所以当x∈[2015，2016]时，x-2016∈[-1，0]，$φ（x）=φ（x-2016）=f（x-2016）={2^{x-2016}}+\frac{1}{{{2^{x-2016}}}}$，即φ（x）在闭区间[2015，2016]上的表达式为$φ（x）={2^{x-2016}}+\frac{1}{{{2^{x-2016}}}}$．
下面证明φ（x）在闭区间[2015，2016]上递减：$φ（x）={2^{x-2016}}+\frac{1}{{{2^{x-2016}}}}≥2$，当且仅当2^x-2016=1，即x=2016时等号成立．
对于任意2015≤x₁＜x₂≤2016，
$f（{x_1}）-f（{x_2}）={2^{{x_1}-2016}}+\frac{1}{{{2^{{x_1}-2016}}}}-{2^{{x_2}-2016}}-\frac{1}{{{2^{{x_2}-2016}}}}=（{2^{{x_1}-{x_2}}}-1）（{2^{{x_2}-2016}}-\frac{1}{{{2^{{x_1}-2016}}}}）$，
因为2015≤x₁＜x₂≤2016，所以${2^{{x_1}-{x_2}}}＜1，{2^{{x_1}-{x_2}}}-1＜0$，${2^{{x_2}-2016}}≤{2^0}=1$，${2^{{x_1}-2016}}＜{2^0}=1$，$\frac{1}{{{2^{{x_1}-2016}}}}＞1$，${2^{{x_2}-2016}}-{2^{2016-{x_1}}}＜0$，
从而φ（x₁）-φ（x₂）＞0，
所以当2015≤x₁＜x₂≤2016时，φ（x）递减．
（3）∵t=g（x）在x∈[1，2]单调递增，∴$\frac{3}{2}≤t≤\frac{15}{4}$．
∴h（t）=t²+2mt+m²-m+1≥m²-m-1对于$t∈[{\frac{3}{2}，\frac{15}{4}}]$恒成立，
∴$m≥-\frac{{{t^2}+2}}{2t}$对于$t∈[{\frac{3}{2}，\frac{15}{4}}]$恒成立，
令$k（t）=-\frac{{{t^2}+2}}{2t}$，则$\frac{{{t^2}+2}}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{1}{t}≥\sqrt{2}$，当且仅当$t=\sqrt{2}$时，等号成立，且$\sqrt{2}＜\frac{3}{2}$所以在区间$t∈[{\frac{3}{2}，\frac{15}{4}}]$上$k（t）=-\frac{{{t^2}+2}}{2t}$单调递减，
∴$k{（t）_{max}}=k（\frac{3}{2}）=-\frac{17}{12}$，
∴$m≥-\frac{17}{12}$为m的取值范围．

点评 本题综合性强，考查了函数的奇偶性，周期性，单调性和恒成立问题的转化，换元法的应用．属于难度较大的题型．