Question

6．（1）已知命题p：“不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R”，命题q：“f（x）=-（5-2m）^x是减函数”．
若“p或q”为真命题，同时“p且q”为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若a＞b＞c＞d＞0，且a+d=b+c，求证：$\sqrt{d}$+$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$．

Answer 1

分析 （1）分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式，解出即可；
（2）问题转化为证明ad＜bc，作差得到ad-bc=（a-c）（b-a），通过讨论a-c，b-a的符号，判断其大小，从而证出结论．

解答 解：（1）∵不等式|x|+|x-1|＞m的解集为R，∴m＜1，
故p为真时，m＜1，
∵f（x）=-（5-2m）^x是减函数，
∴5-2m＞1，解得：m＜2，
故q为真时，m＜2，
若“p或q”为真命题，同时“p且q”为假命题，
则p，q一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜1}\\{m≥2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m＜2}\end{array}\right.$，
解得：1≤m＜2；
（2）要证$\sqrt{d}$+$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$，
只需证${（\sqrt{d}+\sqrt{a}）}^{2}$＜${（\sqrt{b}+\sqrt{c}）}^{2}$，
即a+d+2$\sqrt{ad}$＜b+c+2$\sqrt{bc}$，因a+d=b+c，
只需证$\sqrt{ad}$＜$\sqrt{bc}$即ad＜bc，
因为d=b+c-a，
则ad-bc=a（b+c-a）-bc
=ab+ac-a²-bc
=（a-c）（b-a），
因为a＞b＞c＞d＞0，所以a-c＞0，b-a＜0，
从而ad-bc＜0，
所以$\sqrt{d}$+$\sqrt{a}$＜$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查绝对值不等式以及指数函数的性质，不等式的证明等知识，是一道中档题．