Question

19．如图，平面ABCD⊥平面BCF，四边形ABCD是菱形，∠BCF=90°．
（1）求证：BF=DF；
（2）若点E为AF的中点，∠BCD=60°，且BC=CF=2，求四面体BDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，OF，设AC∩BD=O，推导出CF⊥平面ABCD，从而平面BCF⊥平面ABCD，推导出BD⊥AC，从而BD⊥平面BCF，进而BD⊥OF，由此能证明BF=DF．
（2）由点E为AF的中点，知四面体BDEF的体积${V_{B-DEF}}={V_{B-AED}}={V_{E-ABD}}=\frac{1}{2}{V_{F-ABD}}$，由此能求出四面体BDEF的体积．

解答 证明：（1）连接AC，OF，设AC∩BD=O，
∵平面ABCD⊥平面BCF，且交线为BC，∠BCF=90°，
∴CF⊥平面ABCD，CF?平面BCF，
∴平面BCF⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∴BD⊥平面BCF，∴BD⊥OF，
又BO=DO，∴BF=DF．
解：（2）∵点E为AF的中点，
∴点F到平面ABCD的距离是E到平面ABCD的距离的2倍，
∴四面体BDEF的体积${V_{B-DEF}}={V_{B-AED}}={V_{E-ABD}}=\frac{1}{2}{V_{F-ABD}}$，
由（1）知CF⊥平面ABCD．
∴${V_{B-DEF}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴四面体BDEF的体积为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查线段相等的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想是，是中档题．