Question

6．已知函数f（x）=x+asinx．
（Ⅰ） 若函数f（x）在$x=\frac{2π}{3}$处有极值，求f（x）在[0，π]上的最小值；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到a的值，求出函数的表达式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为只需满足f'（x）=1+acosx在（-∞，+∞）上的最小值大于等于0即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x+asinx，
∴f'（x）=1+acosx，
f′（$\frac{2π}{3}$）=1+acos$\frac{2π}{3}$=0，
解得：a=2，
故f（x）=x+2sinx，f′（x）=1+2cosx，
令f′（x）＞0，解得：0≤x＜$\frac{2π}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{2π}{3}$＜x≤π，
∴f（x）在[0，$\frac{2π}{3}$）递增，在（$\frac{2π}{3}$，π]递减，
∴f（x）的最小值是f（0）或f（π），
而f（0）=0，f（π）=π，
故f（x）的最小值是0；
（Ⅱ）∵f（x）=x+asinx，
∴f'（x）=1+acosx，
又∵f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，
∴f'（x）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
即1+acosx≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
∴只需满足f'（x）=1+acosx在（-∞，+∞）上的最小值大于等于0即可，
又∵cosx∈[-1，1]，
∴当a≥0时，f'_min（x）=1-a≥0，解得0≤a≤1，
当a＜0时，f'_min（x）=1+a≥0，解得-1≤a＜0，
∴-1≤a≤1．

点评 本题考查函数的单调性与导数的关系，考查函数的极值问题．当导函数大于等于0时，原函数单调递增；当导函数小于等于0时，原函数单调递减．