Question

定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a_n}，{f（a_n）}仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（-∞，0）∪（0，∞）上的如下函数：
①f（x）=2^x；②f（x）=

1

x

；③f（x）=x²；④f（x）=ln2^x，
则其中是“等比函数”的f（x）的序号为

 

．

Answer 1

分析：根据新定义，结合等比数列中项的定义a_n•a_n+2=a_n+1²，逐一判断四个函数，即可得到结论．

解答：解：由等比数列性质知a_n•a_n+2=a_n+1²，
①当f（x）=2^x时，f（a_n）f（a_n+2）=2^a_n•2^a_n+2=2^a_n+a_n+2≠2^2a_n+1=f²（a_n+1），故①不正确；
②当f（x）=

1

x

时，f（a_n）f（a_n+2）

1

an

•

1

an+2

=

1

an+12

=f²（a_n+1），故②正确；
③当f（x）=x²时，f（a_n）f（a_n+2）=a_n²a_n+2²=（a_n+1²）²=f²（a_n+1），故③正确；
④当f（x）=ln2^x时，f（a_n）f（a_n+2）=ln2an•ln2an+2≠f²（a_n+1），故④不正确；
故答案为：②③．

点评：本题考查等比数列性质及命题的真假判断与应用，正确运算，理解新定义是解题的关键，属中档题．