Question

7．已知点A的坐标为（0，1），直线l：x=m（y+1）与直线y=-$\frac{3}{5}$交于点F，点E∈l，且?m∈R，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=0．
（1）求点E的轨迹C的方程；
（2）设圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0）与轨迹C交于点M与点N，设点P是轨迹C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

Answer 1

分析 （1）由题意求得F点坐标，设E（x，y），根据向量数量积的坐标运算，即可求得点E的轨迹C的方程；
（2）由条件可知M、N两点关于x轴对称，设M（x₁，y₁），P（x₀，y₀），则N（x₁，-y₁），直线PM的方程为y-y₀=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$（x-x₀），令y=0得点R的横坐标x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，同理可得点S的横坐标x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$．由此能证明|OR|•|OS|为常数．

解答 解：（1）由题意可知：A（0，1），F（$\frac{2}{5}$m，-$\frac{3}{5}$），设E（x，y），
由$\overrightarrow{AE}$=（x，y-1），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{2}{5}$m，-$\frac{8}{5}$），
由$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=0．则$\frac{2}{5}$mx-$\frac{8}{5}$（y-1）=0，2mx=8（y-1），
当y≠-1时，m=$\frac{x}{y+1}$，代入整理得：${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$，（y≠-1），
当y=-1时，F（0，-$\frac{3}{5}$），则E（0，1），满足${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$，
∴点E的轨迹C的方程${y}^{2}-\frac{{x}^{2}}{4}=1$；
（2）证明：由条件可知M、N两点关于x轴对称，
设M（x₁，y₁），P（x₀，y₀），
则N（x₁，-y₁），${y}_{1}^{2}-\frac{{x}_{1}^{2}}{4}=1$，${y}_{0}^{2}-\frac{{x}_{0}^{2}}{4}=1$，
所以x₁²=4（y₁²-1），x₀²=（y₀²-1）．
直线PM的方程为y-y₀=$\frac{{y}_{1}-{y}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$（x-x₀），
令y=0得点R的横坐标x_R=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$，
同理可得点S的横坐标x_S=$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$．
于是：|OR|•|OS|=|$\frac{{x}_{1}{y}_{0}-{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$|•|$\frac{{x}_{1}{y}_{0}+{x}_{0}{y}_{1}}{{y}_{0}+{y}_{1}}$|=|$\frac{{x}_{1}^{2}{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$|，
=|$\frac{4（{y}_{1}^{2}-1）{y}_{0}^{2}-4（{y}_{0}^{2}-1）{y}_{1}^{2}}{{y}_{0}^{2}-{y}_{1}^{2}}$|=4．
所以|OR|•|OS|为常数4．

点评 本题考查双曲线的轨迹方程的求法，考查向量数量积的坐标运算，解题时要认真审题，注意双曲线定义和方程的合理运用，直线方程的合理运用，属于中档题．