Question

已知函数．

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；

（3）当时，函数图像上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1）当时，函数取得极大值；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）将代入函数解析式，直接利用导数求出函数的单调递增区间和递减区间，从而可确定函数的极值；(2)将条件“在区间上为减函数”等价转化为“不等式在区间上恒成立”，结合参数分离法进一步转化为，从中根据二次函数的图像与性质求出在上的最小值即可解决本小问；（3）因函数图像上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可，转化思想的运用.

试题解析：（1）当时，

由，由

故当时，单调递增；当时，单调递减

所以当时，函数取得极大值 4分

（2），∵函数在区间上单调递减

∴在区间上恒成立，即在上恒成立，只需不大于在上的最小值即可 6分

而，则当时，

∴，即，故实数的取值范围是． 8分

（3）因图像上的点在所表示的平面区域内，即当时，不等式恒成立，即恒成立，设（），只需即可．

由，

（ⅰ）当时，，当时，，函数在上单调递减，故成立． 9分

（ⅱ）当时，由，令，得或，

①若，即时，在区间上，，函数在上单调递增，函数在上无最大值，不满足条件；

②若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，不满足条件． 11分

（ⅲ）当时，由，因，故，则函数在上单调递减，故成立．

综上所述，实数的取值范围是． 12分

考点：1.函数的极值与导数；2.函数的单调性与导数；3.函数的最值与导数；4.分离参数法；5.分类讨论的思想.