Question

3．已知{a_n}是等差数列，满足a₁=3，a₅=15，数列{b_n}满足b₁=4，b₄=20，且{b_n-a_n}（n∈N⁺）是等比数列．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列通项公式，求得d=3，写出等差数列{a_n}通项公式，{b_n-a_n}（n∈N⁺）是等比数列，得${q^3}=\frac{{{b_4}-{a_4}}}{{{b_1}-{a_1}}}=\frac{20-12}{4-3}=8$，求得q，
即可写出{b_n}的通项公式${b_n}=3n+{2^{n-1}}（{n∈{N^+}}）$，
（2）根据${b_n}=3n+{2^{n-1}}（{n∈{N^+}}）$，分别求等差数列和等比数列的前n项和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意得$d=\frac{{{a_5}-{a_1}}}{4}=\frac{15-3}{4}=3$
所以${a_n}={a_1}+（{n-1}）d=3n（{n∈{N^+}}）$．
设等比数列{b_n-a_n}的公比为q，由题意得${q^3}=\frac{{{b_4}-{a_4}}}{{{b_1}-{a_1}}}=\frac{20-12}{4-3}=8$，解得q=2．
所以${b_n}-{a_n}=（{{b_1}-{a_1}}）{q^{n-1}}={2^{n-1}}$．  从而${b_n}=3n+{2^{n-1}}（{n∈{N^+}}）$．
（2）由（1）知${b_n}=3n+{2^{n-1}}（{n∈{N^+}}）$．
数列{3n}的前n项和为$\frac{3}{2}n（{n+1}）$．
数列{2^n-1}的前n项和为$1×\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}-1$．
所以，数列{b_n}的前n项和为$\frac{3}{2}n（{n+1}）+{2^n}-1$．

点评 本题考查了等差数列等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．