Question

19．已知数列{a_n}是等差数列，若它的前n项和S_n有最大值，且$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}$＜-1，则使S_n＞0成立的自然数n的最小值为（　　）

• A． 10
• B． 19
• C． 20
• D． 21

Answer 1

分析 由已知得a₁＜0，d＞0，a₁₀＜0，a₁₁＞0，且a₁₀+a₁₁＞0，a₁+a₁₉=2a₁₀＜0，由此能求出使S_n＞0成立的最小自然数n的值．

解答 解：∵数列{a_n}是等差数列，它的前n项和S_n有最大值，
∴a₁＜0，d＞0，
∵$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}$＜-1，
∴a₁₀＜0，a₁₁＞0，
且a₁₀+a₁₁＞0，a₁+a₁₉=2a₁₀＜0，
∴S₁₉=$\frac{19}{2}$×2a₁₀＜0，S₂₀=$\frac{20}{2}$（a10+a11）＞0，
故使S_n＞0成立的最小自然数n的值20．
故选：C．

点评 本题考查等差数列中使S_n＞0成立的最小自然数n的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．