Question

6．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=BC=4，AD=2，AC=AB=3，AD∥BC，N是PC的中点．
（Ⅰ）证明：ND∥面PAB；
（Ⅱ）求三棱锥N-ACD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PB中点M，连结AM，MN，推导出四边形AMND是平行四边形，从而ND∥AM，由此能证明ND∥面PAB．
（Ⅱ）N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，从而三棱锥N-ACD的高是2，由此能求出三棱锥N-ACD的体积．

解答 （本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）如图，取PB中点M，连结AM，MN．
∵MN是△BCP的中位线，∴$MN\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BC$．    （2分）
依题意得，$AD\underline{\underline{∥}}\frac{1}{2}BC$，则有$AD\underline{\underline{∥}}MN$（3分）
∴四边形AMND是平行四边形，∴ND∥AM（4分）
∵ND?面PAB，AM?面PAB，
∴ND∥面PAB（6分）
解：（Ⅱ）∵N是PC的中点，
∴N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，
∴三棱锥N-ACD的高是2．（8分）
在等腰△ABC中，AC=AB=3，BC=4，BC边上的高为$\sqrt{{3^2}-{2^2}}=\sqrt{5}$．（9分）
BC∥AD，∴C到AD的距离为$\sqrt{5}$，
∴${S_{△ADC}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}=\sqrt{5}$．（11分）
∴三棱锥N-ACD的体积是$\frac{1}{3}×\sqrt{5}×2=\frac{2}{3}\sqrt{5}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．