某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示:全市100 000名男生的身高服从正态分布N．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高.测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间.将测量结果按如下方式分成6组:第一组[160.164].第二组[164.168].-.第6组[180.184].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组[164，168]，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；
（Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；
（Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：若ξ-N（μ，σ²），则p（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，p（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．

分析（I）高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；
（II）首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即：每组中包含个体的个数．我们可以依据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数．
（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在172cm以上，这50人中172cm以上的有2人，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．

解答解：（Ⅰ）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为$（162×\frac{5}{100}+166×\frac{7}{100}+170×\frac{8}{100}+174×\frac{2}{100}+178×\frac{2}{100}+182×\frac{1}{100}）×4=168.72$，
高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168）．…（4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0.02+0.01）×4=0.2，人数为0.2×5=10，即这50名男生身高在172 cm以上（含172 cm）的人数为10人．…（6分）
（Ⅲ）∵P（168-3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，∴$P（ξ≥180）=\frac{1-0.9974}{2}=0.0013$，0.0013×100 000=130．
所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人．
随机变量ξ可取0，1，2，于是$P（ξ=0）=\frac{C_8^2}{{C_{10}^2}}=\frac{28}{45}$，$P（ξ=1）=\frac{C_8^1C_2^1}{{C_{10}^2}}=\frac{16}{45}$，$P（ξ=2）=\frac{C_2^2}{{C_{10}^2}}=\frac{1}{45}$，
∴$Eξ=0×\frac{28}{45}+1×\frac{16}{45}+2×\frac{1}{45}=\frac{2}{5}$．…（12分）

点评此题主要考查了正态分布，考查随机变量的定义及其分布列，并考查了利用分布列求其期望．正确理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，由频数分布直方图可以得到什么结论是学习中需要掌握的关键．