Question

14．函数f（x）=|x²-2x-1|，设a＞b＞1且f（a）=f（b），则（a-b）（a+b-2）的取值范围是（　　）

• A． （0，4）
• B． [0，4）
• C． [1，3）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，由a＞b＞1，且f（a）=f（b）可得 （a-1）²+（b-1）²=4．设a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），利用换元法结合三角函数的定义域和值域关系即可求得（a-b）（a+b-2）的取值范围．

解答 解：作出函数f（x）的图象，如图：
可得f（x）=|x²-2x-1|的图象关于直线x=1对称，
且f（1-$\sqrt{2}$）=f（1+$\sqrt{2}$）=0，f（3）=f（-1）=f（1）=2，
由a＞b＞1，且f（a）=f（b），
则a＞1+$\sqrt{2}$，1＜b＜1+$\sqrt{2}$得a²-2a-1=-（b²-2b-1），整理得 （a-1）²+（b-1）²=4．
设a-1=2cosθ，b-1=2sinθ，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
则a=2cosθ+1，b=2sinθ+1，θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
则（a-b）（a+b-2）=（2cosθ-2sinθ）（2cosθ+2sinθ+2-2）=（2cosθ-2sinθ）（2cosθ+2sinθ）=4cos²θ-4sin²θ=4cos2θ，
∵θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
∴2θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
则cos2θ∈（0，1），
则4cos2θ∈（0，4），
故选：A

点评 本题主要考查了二次函数的性质，同时考查了分析问题的能力，计算能力，利用换元法转化为三角函数关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．