Question

13．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC₁的中点．
（1）证明：平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
（2）设AB的中点为D，且CD=A₁D，求三棱锥A₁-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，可得侧棱垂直于底面，得到AE⊥BB₁，再由E是正三角形ABC的边BC的中点，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定得到AE⊥平面B₁BCC₁，再由面面垂直的判定得答案；
（2）△CA₁D是等腰直角三角形，解直角三角形得到直三棱柱的高，由三棱锥体积公式，利用等体积转换，即可求得三棱锥A₁-AEF的体积．

解答 证明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱
∴B₁B⊥底面ABC，则AE⊥BB₁，
又E是正三角形ABC的边BC的中点，
∴AE⊥BC，
又B₁B∩BC=B，
因此AE⊥平面B₁BCC₁，而AE?平面AEF，
∴平面AEF⊥平面B₁BCC₁；
解：（2）在正三角形ABC中，由AB=BC=AC=2，得CD=$\sqrt{3}$，
∵CD=A₁D，
∴A₁D=$\sqrt{3}$，
在Rt△AA₁D中，AA₁=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥A₁-AEF的体积=三棱锥E-A₁AF的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查平面与平面垂直的判定，考查了棱锥、棱柱、棱台体积的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．