题目内容
甲、乙 两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60km/h，已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x（km/h）的平方成正比例，比例系数为
，固定部分为60元．
（Ⅰ）将全程的运输成本y（元）表示为速度x（km/h）的函数，并指出函数的定义域；
（Ⅱ）判断此函数的单调性，并求当速度为多少时，全程的运输成本最小．
| 1 | 60 |
（Ⅰ）将全程的运输成本y（元）表示为速度x（km/h）的函数，并指出函数的定义域；
（Ⅱ）判断此函数的单调性，并求当速度为多少时，全程的运输成本最小．
分析：（Ⅰ）求出汽车全程行驶时间，汽车每小时的全部运输成本，即可得到函数解析式，并确定函数的定义域；
（Ⅱ）利用单调性的定义，可得函数在（0，60]上是减函数，从而可求函数的最值．
（Ⅱ）利用单调性的定义，可得函数在（0，60]上是减函数，从而可求函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）由题意，汽车全程行驶时间为
小时；汽车每小时的运输成本的可变部分为
x2元；汽车每小时的全部运输成本为（
x2+60）元；
所以，所求的函数为y=
(
x2+60)，即y=
x+
（0＜x≤60）．
（Ⅱ）设x1，x2是（0，60]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)=(
x1+
)-(
x2+
)
=
（x1-x2）（1-
）
∵0＜x1＜x2≤60，∴x1-x2＜0，1-
＜0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以，函数f(x)=
x+
在（0，60]上是减函数．
因此，当x=60时，ymin=
×60+
=200．
故当速度为60km/h时，全程的运输成本最小，最小成本为200元．
| 100 |
| x |
| 1 |
| 60 |
| 1 |
| 60 |
所以，所求的函数为y=
| 100 |
| x |
| 1 |
| 60 |
| 5 |
| 3 |
| 6000 |
| x |
（Ⅱ）设x1，x2是（0，60]上的任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)-f(x2)=(
| 5 |
| 3 |
| 6000 |
| x1 |
| 5 |
| 3 |
| 6000 |
| x2 |
|
| 5 |
| 3 |
| 3600 |
| x1x2 |
∵0＜x1＜x2≤60，∴x1-x2＜0，1-
| 3600 |
| x1x2 |
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以，函数f(x)=
| 5 |
| 3 |
| 6000 |
| x |
因此，当x=60时，ymin=
| 5 |
| 3 |
| 6000 |
| 60 |
故当速度为60km/h时，全程的运输成本最小，最小成本为200元．
点评：本题考查函数模型的确立，考查函数单调性的判断，考查函数的最值，确定函数解析式是关键．
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