Question

17．已知函数f（x）=x²-2elnx．（e为自然对数的底数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；
（2）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线的方程．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f（x）的导数为$f'（x）=2x-\frac{2e}{x}$=$\frac{{2（{x-\sqrt{e}}）（{x+\sqrt{e}}）}}{x}$，
由0＜x＜$\sqrt{e}$可得f′（x）＜0；由x＞$\sqrt{e}$可得f′（x）＞0．
∴f（x）的单调递减区间是$（{0，\sqrt{e}}）$，单调递增区间是$（{\sqrt{e}，+∞}）$．
（2）∵f（1）=1，f′（1）=2-2e．
∴切线为y-1=（2-2e）（x-1）
即切线方程为（2e-2）x+y+1-2e=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查导数的几何意义，考查方程思想的运用，以及运算求解能力，属于基础题．