Question

已知，．（注：e是自然对数的底）

（1）当时，求的极值；

（2）求的单调区间；

（3）若存在，使得对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1）由得，_，……………………1分

_令，得

        ……………………3分

_{所以无极大值}……………………4分

（2）由题意可得f（x）的定义域为（0，+∞），……………………5分

∵a＜2，∴a﹣1＜1

①     当a﹣1≤0，即a≤1，∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，

x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；……………………7分

②当0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，∴x∈（0，a﹣1）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，

                              x∈（a﹣1，1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；………………9分

综上所述，当a≤1时，f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）；

当1＜a＜2时，f（x）的单调减区间是（a﹣1，1），单调增区间是（0，a﹣1），（1，+∞）；

（3）由题意，存在x₁∈[e，e²]，使得对任意的x₂∈[﹣2，0]，f（x₁）＜g（x₂）恒成立，等价于对任意x₁∈[e，e²]及x₂∈[﹣2，0]，f（x）_min＜g（x）_min，……………………10分

由（1），当a＜2，x₁∈[e，e²]时，f（x）是增函数，f（x）_min=f（e）=……………………11分

∵g′（x）=x（1﹣e^x），对任意的x₂∈[﹣2，0]，g′（x）≤0

∴g（x）是奇函数，∴g（x）_min=g（0）=1……………………13分

∴

∵a＜2

……………………14分