Question

15．已知tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，且α，β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{2}$π），则2α-β=$\frac{5π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知条件和正切公式可得所求角的正切值，缩小角的范围可得．

解答 解：∵tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，
∴tan（2α-2β）=$\frac{2tan（α-β）}{1-ta{n}^{2}（α-β）}$=$\frac{4}{3}$，
又∵tanβ=-$\frac{1}{7}$，
∴tan（2α-β）=tan[（2α-2β）+β]=$\frac{tan（2α-2β）+tanβ}{1-tan（2α-2β）tanβ}$=$\frac{\frac{4}{3}-\frac{1}{7}}{1+\frac{4}{3}×\frac{1}{7}}$=1，
∵α，β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{2}$π），
∴tanβ=-$\frac{1}{7}$，∴β∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴α-β∈（-$\frac{π}{2}$，π），再由tan（α-β）=$\frac{1}{2}$，可得：α-β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2（α-β）∈（0，π），
∴2α-β=2（α-β）+β∈（$\frac{π}{2}$，2π），
结合tan（2α-β）=1可知2α-β=$\frac{5π}{4}$．
故答案为：$\frac{5π}{4}$．

点评 本题考查两角和与差的正切公式，考查了正切函数的图象和性质，缩小角的范围是解决问题的关键，属中档题．