Question

3．某校的学生文娱团队由理科组和文科组构成，具体数据如表所示：

组别	文科		理科
性别	男生	女生	男生	女生
人数	3	1	3	2

学校准备从该文娱团队中选出4人到某社区参加大型公益活动演出，每选出一名男生，给其所在的组记1分；每选出一名女生，给其所在的组记2分，要求被选出的4人中文科组和理科组的学生都有．
（I）求理科组恰好得4分的概率；
（II）记文科组的得分为X，求随机变量X的分布列和数学期望EX．

Answer 1

分析 （Ⅰ）基本事件总数：n=${C}_{4}^{1}{C}_{5}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{5}^{2}$+${C}_{4}^{3}{C}_{5}^{1}$=120，“理科组恰好得4分“的选法有两种情况：①从理科组中选取2男1女，再从文科组任选1人；②从理科组中选2名女生，再从文科组中任选2人．由此能求出理科组恰好得4分的概率．
（II）由题意知，文科组得分X的取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）∵被选出的4人中文科组和理科组的学生都有，
∴基本事件总数：n=${C}_{4}^{1}{C}_{5}^{3}+{C}_{4}^{2}{C}_{5}^{2}$+${C}_{4}^{3}{C}_{5}^{1}$=120，
“理科组恰好得4分“的选法有两种情况：
①从理科组中选取2男1女，再从文科组任选1人，共有：${C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}$=24种选法，
②从理科组中选2名女生，再从文科组中任选2人，共有：${C}_{2}^{2}{C}_{4}^{2}=6$种选法，
∴理科组恰好得4分的概率p=$\frac{24+6}{120}$=$\frac{1}{4}$．
（II）由题意知，文科组得分X的取值为1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{3}}{120}$=$\frac{3×10}{120}$=$\frac{1}{4}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{5}^{2}+{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{3}}{120}$=$\frac{3×10+10}{120}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}{C}_{5}^{1}+{C}_{3}^{1}{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{2}}{120}=\frac{5+3×10}{120}$=$\frac{7}{24}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{1}^{1}{C}_{5}^{1}}{120}=\frac{1}{8}$，
∴X的分布列为：

X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{1}{8}$

EX=$1×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{3}+3×\frac{7}{24}+4×\frac{1}{8}$=$\frac{55}{24}$．

点评 本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、是中档题．