Question

8．设抛物线y²=2px（x＞0）的焦点为F，点A（0，$\sqrt{2}$），线段FA的中点在抛物线上，设动直线l：y=kx+m与抛物线相切于点P，且与抛物线的准线相交于点Q，以PQ为直径的圆记为圆C．
（1）求p的值；
（2）证明：圆C与x轴必有公共点．

Answer 1

分析 （1）由抛物线y²=2px，焦点F（$\frac{p}{2}$，0），线段FA的中点坐标为（$\frac{p}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），代入即可求得p的值；
（2）将直线方程代入抛物线方程，由直线和抛物线相切求得切点坐标，进一步求得Q的坐标（用含k的代数式表示），求得PQ的中点C的坐标，求出圆心到x轴的距离，求出（$\frac{1}{2}$丨PQ丨）²，由半径的平方与圆心到x轴的距离的平方差的符号判断圆C与x轴的位置关系．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（x＞0），焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
故线段FA的中点坐标为（$\frac{p}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
代入方程2p×$\frac{p}{4}$=$\frac{1}{2}$，解得：p=1，
（2）由（1）可得抛物线方程为y²=2x，从而抛物线的准线方程为x=-$\frac{1}{2}$，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，整理得：$\frac{k}{2}{y}^{2}-y+m=0$，
由直线与抛物线相切，可知：$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{m=\frac{1}{2k}}\end{array}\right.$，
且y=$\frac{1}{k}$，从而x=$\frac{1}{2{k}^{2}}$，即P（$\frac{1}{2{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2k}}\\{x=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：Q（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1-{k}^{2}}{2k}$），
∴PQ的中点C的坐标为C（$\frac{1-{k}^{2}}{2k}$，$\frac{3-{k}^{2}}{4k}$），圆心C到x的距离d²=（$\frac{3-{k}^{2}}{4k}$）²，
丨PQ丨²=（$\frac{1+{k}^{2}}{2{k}^{2}}$）²+（$\frac{1+{k}^{2}}{2k}$）²，
∴（$\frac{1}{2}$丨PQ丨）²-d²=$\frac{1}{4}$[（$\frac{1+{k}^{2}}{2{k}^{2}}$）²+（$\frac{1+{k}^{2}}{2k}$）²]-（$\frac{3-{k}^{2}}{4k}$）²=（$\frac{3{k}^{2}-1}{4{k}^{2}}$）²≥0
∴圆C与x轴必有公共点．

点评 本题主要考查抛物线的定义和直线与椭圆的位置关系，解决此类问题必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常见题型，属于中档题．