Question

15．设函数f（x）=（a-1）x-lnx．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导函数，在定义域内对a进行分类讨论，判断函数的单调性；
（2）对问题进行转化即函数y=a与函数$y=\frac{lnx}{x}+1$有且仅有一个交点-绘出函数的图象，利用数形结合的思想求解．

解答 解：（1）由题可知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵$f′（x）=（a\right.-\left.1）-\frac{1}{x}=\frac{（a\right.-\left.1）x-1}{x}$…（1分）
（i）若a-1＜0，即a＜1时，$f′（x）=\frac{（a\right.-\left.1）x-1}{x}＜0$时，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
（ii）若a-1=0，即a=1时，则$f'（x）=-\frac{1}{x}＜0$，故f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（iii）若a-1＞0，即a＞1时，
可得在$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上，f'（x）＞0即f（x）在$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上单调递增，
在$（0，\frac{1}{a-1}）$上，f'（x）＜0即f（x）在$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上单调递减．…（5分）
所以综上所述：当a≤1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞1时，f（x）在$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上单调递增，在$（\frac{1}{a-1}，+∞）$上单调递减．…（6分）
（2）方程f（x）=0有且仅有一个实根，
即（a-1）x-lnx=0有且仅有一个实根
即$a=\frac{lnx}{x}+1$有且仅有一个实根
即函数y=a与函数$y=\frac{lnx}{x}+1$有且仅有一个交点-----------------（8分），
$y′=\frac{1-lnx}{x^2}$，
令y′=0得x=e．
列出x，y′，y的变化情况如下表所示：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
y′	+	0	-
y	↗	极大值$\frac{1}{e}$+1	↘

画出函数$y=\frac{lnx}{x}+1$的图形如图所示，

可知函数y=a与函数$y=\frac{lnx}{x}+1$有且仅有一个交点的a的取值范围
为$a=1+\frac{1}{e}$或a≤1…（12分）

点评 考查了导函数的应用和分类讨论思想，数形结合的综合应用．