Question

2．已知曲线C：$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）设M（1，2），直线l与曲线C交点为A、B，试求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）C参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）．消去参数t，可得直线l的普通方程；
（2）设M（1，2），直线l与曲线C联立，利用参数的几何意义求|MA|•|MB|的值．

解答 解：（1）C参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=3sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）.$l：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t⇒t=2（x-1）\\ y=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t⇒y-2=\sqrt{3}（x-1）\end{array}\right.$，
∴直线l的方程为$\sqrt{3}x-y+2-\sqrt{3}=0$．
（2）直线方程代入椭圆方程可得$3{（1+\frac{1}{2}t）^2}+4{（2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}=12$，
化简可得$\frac{15}{4}{t^2}+（3+8\sqrt{3}）t+7=0$，
∴${t_1}+{t_2}=-\frac{{4（3+8\sqrt{3}）}}{15}$，${t_1}{t_2}=\frac{28}{15}$，$|MA|•|MB|=|{t_1}{t_2}|=\frac{28}{15}$．

点评 本题考查参数方程，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．