Question

14．已知不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{x≥0}\\{y≥m}\\{\;}\end{array}\right.$表示的平面区域的面积为2，则$\frac{2x+y+3}{x+1}$的最小值为$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 先根据面积为2求出m值，又z=$\frac{2x+y+3}{x+1}$=2+$\frac{y+1}{x+1}$，设k=$\frac{y+1}{x+1}$，利用k的几何意义，结合数形结合即可得到结论．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
，
其中A（0，2），B（2，0），
则△OAB的面积S=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
即m=0
又z=$\frac{2x+y+3}{x+1}$=2+$\frac{y+1}{x+1}$，
设k=$\frac{y+1}{x+1}$，其中$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义是可行域内的点与点D（-1，-1）构成的直线的斜率问题．
由图象可知DB的斜率最小，此时k=$\frac{0+1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，
则$\frac{2x+y+3}{x+1}$的最小值2+$\frac{1}{3}$=$\frac{7}{3}$，
故答案为：$\frac{7}{3}$．

点评 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．利用数形结合是解决本题的关键．