Question

2．（Ⅰ）集合M={1，2，（m²-3m-1）+（m²-5m-6）i}，N={3，-1}，M∩N={3}，求实数m的值．
（Ⅱ）已知1²=$\frac{1}{6}$×1×2×3，1²+2²=$\frac{1}{6}$×2×3×5，1²+2²+3²=$\frac{1}{6}$×3×4×7，1²+2²+3²+4²=$\frac{1}{6}$×4×5×9，由此猜想1²+2²+…+n²（n∈N^*）的表达式并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据交集的定义列出方程组，解方程组求出m的值；
（Ⅱ）归纳法猜想得出1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$（n∈N^*），再用数学归纳法证明即可．

解答 解：（Ⅰ）由M={1，2，（m²-3m-1）+（m²-5m-6）i}，N={3，-1}，
且M∩N={3}，
得（m²-3m-1）+（m²-5m-6）i=3，
所以，m²-3m-1=3且m²-5m-6=0，---（2分）
解得m=-1；---（4分）
（Ⅱ）归纳猜想，得1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$（n∈N^*）；---（6分）
证明：（1）当n=1时，1²=$\frac{1}{6}$×1×2×3，猜想成立；
（2）假设n=k（k≥1，且k∈N^*）时，猜想成立，
即1²+2²+…+k²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$，
那么当n=k+1时，
1²+2²+…+k²=$\frac{k（k+1）（2k+1）}{6}$+（k+1）²
=$\frac{（k+1）（k+2）（2k+3）}{6}$
=$\frac{（k+1）[（k+1）+1][2k（+1）+1]}{6}$，（k∈N^*），
所以，当n=k+1时，猜想成立；
由（1）（2）可知，对任意的正整数n，猜想都成立．---（12分）

点评 本题考查了交集的定义与运算问题，也考查了数学归纳法的应用问题，是综合性题目．