Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以原点为圆心，半径为b的圆与直线y=x+$\sqrt{6}$相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆C的上顶点为B，过点B且互相垂直的动直线l₁，l₂与椭圆的另一个交点分别为P，Q，设直线PQ与y轴相交于点M，若$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）以原点为圆心，半径为b的圆与直线y=x+$\sqrt{6}$相切．可得$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=b，解得b．又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，c²=a²+b²，联立解得a，c．即可得出．
（2）B$（0，\sqrt{3}）$，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．设直线l₁的方程为：y=kx+$\sqrt{3}$，（不妨设k＞0），则直线l₂的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$．分别与椭圆方程联立解得x₁，x₂．利用$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，即可得出．

解答 解：（1）∵以原点为圆心，半径为b的圆与直线y=x+$\sqrt{6}$相切．∴$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}$=b，∴b=$\sqrt{3}$．
又e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，c²=a²+b²，联立解得a=2，c=1．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）B$（0，\sqrt{3}）$，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
设直线l₁的方程为：y=kx+$\sqrt{3}$，（不妨设k＞0），
则直线l₂的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x+$\sqrt{3}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+8$\sqrt{3}$kx=0，
解得x₁=$\frac{-8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，
同理可得：x₂=$\frac{8\sqrt{3}k}{4+3{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{MQ}$，∴-$\frac{-8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$=λ×$\frac{8\sqrt{3}k}{4+3{k}^{2}}$．
∴λ=$\frac{4+3{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{7}{4（3+4{k}^{2}）}$∈$（\frac{3}{4}，\frac{4}{3}）$．
∴实数λ的取值范围是$（\frac{3}{4}，\frac{4}{3}）$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、直线与圆相切性质、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．