Question

15．（1）化简$\frac{1}{{sin{{10}°}}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{sin{{80}°}}}$；
（2）已知$-\frac{π}{2}＜x＜0$，$sinx+cosx=\frac{1}{5}$，求$\frac{{sin2x+2{{sin}^2}x}}{1-tanx}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数以及二倍角公式化简求解即可．
（2）利用平方关系式化简已知条件，化简所求的表达式，代入求解即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{{sin{{10}°}}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{sin{{80}°}}}=\frac{1}{{sin{{10}°}}}-\frac{{\sqrt{3}}}{{cos{{10}°}}}$…（1分）
=$\frac{{cos{{10}°}-\sqrt{3}sin{{10}°}}}{{sin{{10}°}cos{{10}°}}}$…（2分）
=$\frac{{2（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}{{sin}°}+\frac{1}{2}cos{{10}°}）}}{{sin{{10}°}cos{{10}°}}}$…（3分）
=$\frac{{2sin（{{150}°}+{{10}°}）}}{{sin{{10}°}cos{{10}°}}}$…（4分）
=$\frac{{2sin{{160}°}}}{{\frac{1}{2}sin{{20}°}}}=\frac{{2sin{{20}°}}}{{\frac{1}{2}sin{{20}°}}}$…（5分）
=4…（6分）
（2）由$sinx+cosx=\frac{1}{5}$，两边平方得：$2sinxcosx=-\frac{24}{25}$…（7分）
所以${（sinx-cosx）^2}=1-2sinxcosx=\frac{49}{25}$…（8分）
因为$-\frac{π}{2}＜x＜0$，所以sinx＜0，cosx＞0
故$sinx-cos=-\frac{7}{5}$…（9分）
所以$\frac{{sin2x+2{{sin}^2}x}}{1-tanx}=\frac{2sinx（cosx+sinx）}{{1-\frac{sinx}{cosx}}}=\frac{2sinxcosx（cosx+sinx）}{cosx-sinx}$…（11分）
=$\frac{{-\frac{24}{25}×\frac{1}{5}}}{{\frac{7}{5}}}=-\frac{24}{175}$…（12分）

点评 本题考查三角函数的化简求值，二倍角公式以及两角和与差的三角函数的应用，是中档题．