Question

已知二次函数有两个零点和，且最小值是，函数与的图象关于原点对称.

（1）求和的解析式；

（2）若在区间[－1,1]上是增函数，求实数的取值范围．

 

Answer 1

（1），；（2）实数的取值范围是.

【解析】

试题分析：（1）根据条件二次函数有两个零点和，故可将二次函数的解析式设为，再由，可得，即，从而，再由函数的图象与的图象关于原点对称，可知；（2）由（1）得，这是一个关于的一次函数或者是一个二次函数，因此考虑对的取值分以下三种情况分类讨论：

①当时，满足在区间上是增函数；

②当时，图象的对称轴是，则，又∵，解得；

③当时，同理则需，又∵，解得，故满足条件的实数的取值范围是.

试题解析：（1）依题意，设，图象的对称轴是，

∴，即，得，∴，

由函数的图象与的图象关于原点对称，∴；

（2）由（1）得，

①当时，满足在区间上是增函数；

②当时，图象的对称轴是，则，又∵，解得；

③当时，同理则需，又∵，解得，

综上，满足条件的实数的取值范围是.

考点：1.二次函数求解析式；2.二次函数的单调性.