题目内容
椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为
，求此椭圆的方程．
4
| ||
| 3 |
分析：由椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，知4c2=（a+c）（a-c），解得b2=4c2，由
，得24x2-80x+80-m=0，由弦长公式得
=
×
，由此能求出椭圆的方程．
|
4
| ||
| 3 |
| 5 |
|
解答：解：∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，
∴4c2=（a+c）（a-c），
解得a2=5c2，
∴b2=4c2，
由
，
消去y，得24x2-80x+80-m=0，
设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
=
，x1•x2=
，k=2，
由弦长公式l=
|x1-x2|=
•
=
•
，
∵直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为
，
∴
=
×
，
解得m=24，
∴椭圆的方程是4x2+5y2=24．
∴4c2=（a+c）（a-c），
解得a2=5c2，
∴b2=4c2，
由
|
消去y，得24x2-80x+80-m=0，
设直线与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
| 80 |
| 24 |
| 10 |
| 3 |
| 80-m |
| 24 |
由弦长公式l=
| 1+k2 |
| 5 |
|
| 5 |
|
∵直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为
4
| ||
| 3 |
∴
4
| ||
| 3 |
| 5 |
|
解得m=24，
∴椭圆的方程是4x2+5y2=24．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
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