Question

17．设椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于$\sqrt{2}$，则m的取值范围为3＜m＜35．

Answer 1

分析 求出与直线y=x+4的距离等于$\sqrt{2}$的直线方程，与椭圆方程联立，利用判别式，即可求出m的取值范围．

解答 解：设与直线y=x+4的距离等于$\sqrt{2}$的直线方程为y=x+c，则$\frac{|c-4|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴c=2或6，
y=x+2代入x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1可得（m+1）x²+4x+4-m=0，△=16-4（m+1）（4-m）＞0，可得m＞3；
y=x+6代入x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1可得（m+1）x²+12x+36-m=0，△=144-4（m+1）（36-m）＜0，可得0＜m＜35；
∵椭圆x²+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1上恰有两点到直线y=x+4的距离等于$\sqrt{2}$，
∴3＜m＜35．
故答案为：3＜m＜35．

点评 本题考查求m的取值范围，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线方程，属于中档题．