Question

15．如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=2，AB=AD=PB=1，点E为棱PA的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PBD；
（Ⅱ）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由PB⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，则AB⊥BC，PB⊥底面ABCD，PB⊥CD，在底面ABCD中，由∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$BC，BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，BD⊥CD，CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，1），B（0，0，0），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），D（1，1，0），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），又平面ABE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{m}丨}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，二面角A-BE-D的大小的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

解答 解：（Ⅰ）证明：由PB⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，
∴∠ABC=90°，AB⊥BC，
PB⊥底面ABCD，
而CD?底面ABCD，
PB⊥CD，
在底面ABCD中，由∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
BD⊥CD，
又PB∩BD=B，
∴CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，1），B（0，0，0），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），D（1，1，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}=0}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
又∵平面ABE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{丨\overrightarrow{n}丨•丨\overrightarrow{m}丨}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
即二面角A-BE-D的大小的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查直线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力，属于中档题．